最速降下曲線がサイクロイドになることを示す

点 A から点 B まで、質点が重力だけを受けて摩擦の無い坂をすべり降りるとき、降下時間 $T[f(x)]$ を最小にする坂の形 $y = f(x)$ は、以下のサイクロイドで表せることを示せ。

x = a(\theta - \sin\theta), \qquad y = a(1 - \cos\theta)

この曲線を最速降下曲線という。

ただし、

最速降下曲線（サイクロイド）。

y

軸は下向き

準備中。

$\delta F[q]$	$=$	$F[q + \delta q] - F[q]$	$q$ を $\delta q$ だけ変えたときの汎関数の変化
	$=$	$\displaystyle \htmlClass{u1}{\int_{t_0}^{t_1} dt}\, \htmlClass{u2}{\frac{\delta F}{\delta q(t)}}\, \delta q(t) + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr)$	$\delta q$ の1次の項と、2次以上の項に分けた。