汎関数と汎関数微分

汎関数

定義

汎関数 $F[q(t)]$ とは、関数 $q(t)$ を受け取って、1つの数を返すものである。

「関数を受け取る」というと抽象的に感じるが、実際には、（関数にいろいろな数を入れてできた）グラフのようなものを受け取ると考えると分かりやすい。汎関数はいろいろな形のグラフを受け取ることができ、それぞれのグラフに対して1つの数を返す。たとえば、最速降下曲線の降下時間 $T[f(x)]$ は、坂の形 $f(x)$ のグラフを受け取って、降下時間という1つの数を返すので、汎関数である。

汎関数は、連続無限個の変数をもつ多変数関数ということもできる。

関数・多変数関数・汎関数の、受け取るもの（引数）と返すもの（返り値）をまとめる。返り値はどれも1つの数である。

	書き方	引数	返り値
関数	$f(x)$	数1つ（一変数） $x \in K$	数1つ $f(x) \in K$
多変数関数	$f(q_1, \dots, q_n)$	数 $n$ 個（多変数） $q_k \in K\ \ (k = 1, \dots, n)$	数1つ $f(q_1, \dots, q_n) \in K$
汎関数	$F[q(t)]$	関数＝連続無限個の数（連続） $q(t) \in K\ \ (t_0 \le t \le t_1)$	数1つ $F[q(t)] \in K$

ただし、

$K$ は体（実数、複素数、四元数など）

汎関数は、多変数関数の添字 $k$ が連続変数 $t$ に置き換わったものとみることができる。

上：多変数関数の引数

q_k\ (k = 1, 2, \dots, n)

　下：汎関数の引数

q(t)\ (t_0 \le t \le t_1)

ふつうの関数 $q(t)$ は、ベクトル $\boldsymbol q$ の成分の数を無限にした極限で表せる。つまり、関数は“無限次元のベクトル”である。

余談

物理で、いつでも連続化ができるのは、運動の項があるからだといえます。古典論でも量子論でも、運動の項には微分が含まれています。

\begin{aligned} E &= \frac{m}{2} \dot{\boldsymbol r}^2, \qquad & \hat H &= \frac{\hat{\boldsymbol p}^2}{2m} \\ & & &= -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \end{aligned}

もし離散的なら、微分のところでエネルギーが発散して $\infty$ になってしまいます。でも、そういう状況には興味がありません。だから物理では、いつでも連続化したり、極限を取ったりします。いつでも極限を取ってよいのは、宇宙を有限の箱と考えてよく、宇宙の寿命も有限だからです。

特別な例として、離散的なものもあります。ゲージ自由度です。ゲージ自由度の中は物理に関係しないので、まったく自由に取ることができ、離散的でもかまいません。なんとなく、生物の中立遺伝子に似ています。中立遺伝子は進化にまったく関係しないので、バラエティが豊富で、めちゃくちゃでもよいのです。

関数が無限次元のベクトルであることに関連して、量子力学のヒルベルト空間は、無限次元のベクトル空間ということができます。

汎関数微分

定義

$\delta F[q]$	$=$	$F[q + \delta q] - F[q]$	$q$ を $\delta q$ だけ変えたときの汎関数の変化
	$=$	$\displaystyle \htmlClass{u1}{\int_{t_0}^{t_1} dt}\, \htmlClass{u2}{\frac{\delta F}{\delta q(t)}}\, \delta q(t) + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr)$	$\delta q$ の1次の項と、2次以上の項に分けた。

このときの $\htmlClass{u2}{\dfrac{\delta F}{\delta q(t)}}$ を汎関数微分という。汎関数微分は、 $t_0 \le t \le t_1$ で定義された関数である。

この定義を使う問題

偏微分と比べると、共通点がよく分かる。

比べるもの：偏微分

$\delta f(\boldsymbol q)$	$=$	$f(\boldsymbol q + \delta\boldsymbol q) - f(\boldsymbol q)$	$\boldsymbol q$ を $\delta\boldsymbol q$ だけ変えたときの関数の変化
	$=$	$\displaystyle \htmlClass{u1}{\sum_{k=1}^{n}}\, \htmlClass{u2}{\frac{\partial f}{\partial q_k}}\, \delta q_k + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr)$	$\delta q$ の1次の項と、2次以上の項に分けた。

このときの $\htmlClass{u2}{\dfrac{\partial f}{\partial q_k}}$ を偏微分という。偏微分は、 $n$ 成分のベクトルである。

2つを見比べると、次のように対応している。

汎関数微分	偏微分
$\textcolor{#d9822b}{\displaystyle\int dt}$	$\textcolor{#d9822b}{\displaystyle\sum_k}$
$\textcolor{#3d8bd4}{\dfrac{\delta F}{\delta q(t)}}$	$\textcolor{#3d8bd4}{\dfrac{\partial f}{\partial q_k}}$
関数	ベクトル
$\textcolor{#3a9a5b}{t_0 \le t \le t_1}$	$\textcolor{#3a9a5b}{n}$ 成分（ $\textcolor{#3a9a5b}{k = 1, \dots, n}$ ）