つまらない解説集

汎関数微分の計算問題

どの問題も、汎関数微分の定義から計算する。

(1) ∫q2 dt\displaystyle\int q^2\, dt の汎関数微分

汎関数 F[q]=∫t0t1dt q(t)2F[q] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, q(t)^2 の汎関数微分は、以下のように表せることを示せ。

δFδq(t)=2q(t)\frac{\delta F}{\delta q(t)} = 2q(t)
解答
δF\delta F== F[q+δq]−F[q]F[q + \delta q] - F[q] 汎関数の変化
== ∫t0t1dt[(q+δq)2−q2]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left[ (q + \delta q)^2 - q^2 \right] F[q]=∫t0t1dt q2F[q] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, q^2 を代入した。
== ∫t0t1dt[2q δq+(δq)2]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left[ 2q\,\delta q + (\delta q)^2 \right] 展開の公式 (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 を使った。
== ∫t0t1dt 2q(t) δq(t)+O((δq)2)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, 2q(t)\,\delta q(t) + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr) (δq)2(\delta q)^2 の項は2次なので、O((δq)2)O\bigl( (\delta q)^2 \bigr) にまとめた。
∴ δFδq(t)\therefore\ \dfrac{\delta F}{\delta q(t)}== 2q(t)2q(t) 汎関数微分の定義と見比べた。

以上で示せた。■\blacksquare

この問題で使った定義・公式
汎関数微分の定義
δF=∫t0t1dt δFδq(t) δq(t)+O((δq)2)\delta F = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, \frac{\delta F}{\delta q(t)}\, \delta q(t) + O\bigl((\delta q)^2\bigr)
展開の公式
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(2) q(t′)q(t') の汎関数微分

汎関数 F[q(t)]=q(t′)F[q(t)] = q(t') の汎関数微分は、以下のように表せることを示せ。

δFδq(t)=δ(t−t′)\frac{\delta F}{\delta q(t)} = \delta(t - t')

ただし、

  • t′t' は固定した時刻（t0<t′<t1t_0 < t' < t_1）
  • δ(t)\delta(t) はディラックのデルタ関数
解答
δF\delta F== F[q+δq]−F[q]F[q + \delta q] - F[q] 汎関数の変化
== (q(t′)+δq(t′))−q(t′)\bigl( q(t') + \delta q(t') \bigr) - q(t') F[q]=q(t′)F[q] = q(t') を代入した。
== δq(t′)\delta q(t') q(t′)q(t') を打ち消した。
== ∫t0t1dt δ(t−t′) δq(t)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, \delta(t - t')\, \delta q(t) ディラックのデルタ関数の性質 ∫t0t1dt δ(t−t′) g(t)=g(t′)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, \delta(t - t')\, g(t) = g(t') を。
∴ δFδq(t)\therefore\ \dfrac{\delta F}{\delta q(t)}== δ(t−t′)\delta(t - t') 汎関数微分の定義と見比べた。

以上で示せた。■\blacksquare

この問題で使った定義・公式
汎関数微分の定義
δF=∫t0t1dt δFδq(t) δq(t)+O((δq)2)\delta F = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, \frac{\delta F}{\delta q(t)}\, \delta q(t) + O\bigl((\delta q)^2\bigr)
ディラックのデルタ関数
∫t0t1dt δ(t−t′) g(t)=g(t′)(t0<t′<t1)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, \delta(t - t')\, g(t) = g(t')\quad (t_0 < t' < t_1)

余談

この問題は、多変数関数の偏微分によく対応しています。f(q)=qk′f(\boldsymbol q) = q_{k'}（k′k' は固定）とすると、

δf\delta f== f(q+δq)−f(q)f(\boldsymbol q + \delta\boldsymbol q) - f(\boldsymbol q) 関数の変化
== (qk′+δqk′)−qk′(q_{k'} + \delta q_{k'}) - q_{k'} f(q)=qk′f(\boldsymbol q) = q_{k'} を代入した。
== δqk′\delta q_{k'} qk′q_{k'} を打ち消した。
== ∑k=1nδkk′ δqk\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \delta_{kk'}\, \delta q_k クロネッカーのデルタ δkk′\delta_{kk'}（k=k′k = k' のとき 11、それ以外は 00）を使った。
∴ ∂qk′∂qk\therefore\ \dfrac{\partial q_{k'}}{\partial q_k}== δkk′\delta_{kk'} 偏微分の定義と見比べた。

ディラックのデルタ関数 δ(t−t′)\delta(t - t') が、クロネッカーのデルタ δkk′\delta_{kk'} に対応しているわけです。

(3) ∫(dqdt)2dt\displaystyle\int \left( \frac{dq}{dt} \right)^2 dt の汎関数微分

端点を固定したとき、汎関数 F[q]=∫t0t1dt(dq(t)dt)2F[q] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left( \frac{dq(t)}{dt} \right)^2 の汎関数微分は、以下のように表せることを示せ。

δFδq(t)=−2d2qdt2\frac{\delta F}{\delta q(t)} = -2 \frac{d^2 q}{dt^2}

F[q]F[q] は運動の項と同じ形をしている。

ただし、

  • 端点を固定する（ディリクレ境界条件）
    • q(t0)=q0q(t_0) = q_0、q(t1)=q1q(t_1) = q_1
    • つまり δq(t0)=0\delta q(t_0) = 0、δq(t1)=0\delta q(t_1) = 0
q(t) t q0 q1 t0 t1 端点は固定
端点 (t0,q0)(t_0, q_0) と (t1,q1)(t_1, q_1) は固定
解答
δF\delta F== F[q+δq]−F[q]F[q + \delta q] - F[q] 汎関数の変化
== ∫t0t1dt[(dqdt+d δqdt)2−(dqdt)2]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left[ \left( \frac{dq}{dt} + \frac{d\,\delta q}{dt} \right)^2 - \left( \frac{dq}{dt} \right)^2 \right] F[q]=∫t0t1dt(dqdt)2F[q] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left( \frac{dq}{dt} \right)^2 を代入した。
== ∫t0t1dt[2dqdtd δqdt+(d δqdt)2]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left[ 2 \frac{dq}{dt} \frac{d\,\delta q}{dt} + \left( \frac{d\,\delta q}{dt} \right)^2 \right] 展開の公式 (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 を使った。
== ∫t0t1dt 2dqdtd δqdt+O((δq)2)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, 2 \frac{dq}{dt} \frac{d\,\delta q}{dt} + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr) 2次の項を O((δq)2)O\bigl( (\delta q)^2 \bigr) にまとめた。
== ∫t0t1dt[−2d2qdt2]δq+[2dqdt δq]t0t1+O((δq)2)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left[ -2 \frac{d^2 q}{dt^2} \right] \delta q + \left[ 2 \frac{dq}{dt}\, \delta q \right]_{t_0}^{t_1} + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr) 部分積分 ∫fg′ dt=[fg]−∫f′g dt\displaystyle\int f g'\, dt = \bigl[ f g \bigr] - \int f' g\, dt を。
== ∫t0t1dt[−2d2qdt2]δq+O((δq)2)\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt \left[ -2 \frac{d^2 q}{dt^2} \right] \delta q + O\bigl( (\delta q)^2 \bigr) 第2項（表面項）は、ディリクレ境界条件 δq(t0)=0\delta q(t_0) = 0、δq(t1)=0\delta q(t_1) = 0 より 00。ディリクレ境界条件は、この表面項を落とすために設定した。
∴ δFδq(t)\therefore\ \dfrac{\delta F}{\delta q(t)}== −2d2qdt2-2 \dfrac{d^2 q}{dt^2} 汎関数微分の定義と見比べた。

以上で示せた。■\blacksquare

負号（マイナス）は、部分積分から出てきたことが分かる。

この問題で使った定義・公式
汎関数微分の定義
δF=∫t0t1dt δFδq(t) δq(t)+O((δq)2)\delta F = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, \frac{\delta F}{\delta q(t)}\, \delta q(t) + O\bigl((\delta q)^2\bigr)
展開の公式
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
部分積分
∫t0t1fg′ dt=[fg]t0t1−∫t0t1f′g dt\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f g'\, dt = \bigl[ f g \bigr]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} f' g\, dt
ディリクレ境界条件
端点を固定する：δq(t0)=0\delta q(t_0) = 0、δq(t1)=0\delta q(t_1) = 0

余談

ddt\dfrac{d}{dt} は反エルミートです。運動量など、物理量はすべてエルミートです。運動量の演算子 p^=−iℏ∇\hat p = -i\hbar\nabla に −i-i を付けているのも、∇\nabla が反エルミートだからです。

なぜそうなるかを短く書いておきます。端で 00 になる関数どうしの内積を ⟨f,g⟩=∫t0t1dt f(t)∗g(t)\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, f(t)^* g(t) とすると、次のようになります。

⟨f,dgdt⟩\left\langle f, \dfrac{dg}{dt} \right\rangle== ∫t0t1dt f∗dgdt\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} dt\, f^* \frac{dg}{dt} 内積
== [f∗g]t0t1−∫t0t1dt df∗dt g\displaystyle\bigl[ f^* g \bigr]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} dt\, \frac{df^*}{dt}\, g 部分積分 ∫fg′ dt=[fg]−∫f′g dt\displaystyle\int f g'\, dt = \bigl[ f g \bigr] - \int f' g\, dt を使った。
== −∫t0t1dt df∗dt g\displaystyle -\int_{t_0}^{t_1} dt\, \frac{df^*}{dt}\, g 表面項は、f, gf,\ g が端で 00 なので 00。
== ⟨−dfdt,g⟩\left\langle -\dfrac{df}{dt}, g \right\rangle 内積（−1-1 は実数なので ∗* の中に入れてよい）

つまり、ddt\dfrac{d}{dt} を内積の右から左へ移すと符号が変わります。これが反エルミート (ddt)†=−ddt\left( \dfrac{d}{dt} \right)^\dagger = -\dfrac{d}{dt} ということです。この問題の負号も、部分積分で ddt\dfrac{d}{dt} を δq\delta q から dqdt\dfrac{dq}{dt} へ移したときに出てきたものです。

エルミート（A†=AA^\dagger = A）な演算子は固有値が実数になるので、測って得られる物理量はエルミートな演算子で表します。反エルミートな微分に −i-i をかけると、エルミートになります。

(−iℏddx)†\left( -i\hbar \dfrac{d}{dx} \right)^\dagger== (−iℏ)∗(ddx)†(-i\hbar)^* \left( \dfrac{d}{dx} \right)^\dagger 随伴の性質 (cA)†=c∗A†(cA)^\dagger = c^* A^\dagger を使った。
== iℏ(−ddx)i\hbar \left( -\dfrac{d}{dx} \right) 反エルミート (ddx)†=−ddx\left( \dfrac{d}{dx} \right)^\dagger = -\dfrac{d}{dx} を使った（tt を xx に読み替えた）。
== −iℏddx-i\hbar \dfrac{d}{dx} 係数をまとめた。

もとに戻ったので、p^=−iℏddx\hat p = -i\hbar \dfrac{d}{dx} はエルミートです。