つまらない解説集

よく使う公式

物理・数学でよく使う公式を、一目で見られるようにまとめたページ。これからも追記していく。

テイラー展開

どれも x=0x = 0 のまわりの展開
exe^x== ∑k=0nxkk!+eθx(n+1)! xn+1\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}\, x^{n+1} すべての xx、すべての nn で成り立つ

ただし、

  • θ\theta は 00 と 11 の間のある数（xx と nn によって決まる）
== 1+x+12!x2+13!x3+14!x4+⋯1 + x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \cdots すべての xx で成り立つ
ln⁡(1+x)\ln(1+x)== x−x22+x33−x44+⋯x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots −1<x≤1-1 < x \le 1 で成り立つ
sin⁡x\sin x== ∑k=0n(−1)k(2k+1)! x2k+1+(−1)n+1cos⁡(θx)(2n+3)! x2n+3\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\, x^{2k+1} + \frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+3)!}\, x^{2n+3} すべての xx、すべての nn で成り立つ

ただし、

  • θ\theta は 00 と 11 の間のある数（xx と nn によって決まる。exe^x の θ\theta とは別のもの）
== x−13!x3+15!x5−⋯x - \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{5!}x^5 - \cdots すべての xx で成り立つ
cos⁡x\cos x== ∑k=0n(−1)k(2k)! x2k+(−1)n+1cos⁡(θx)(2n+2)! x2n+2\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}\, x^{2k} + \frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!}\, x^{2n+2} すべての xx、すべての nn で成り立つ

ただし、

  • θ\theta は 00 と 11 の間のある数（xx と nn によって決まる。exe^x・sin⁡x\sin x の θ\theta とは別のもの）
== 1−12!x2+14!x4−⋯1 - \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{4!}x^4 - \cdots すべての xx で成り立つ
(1+x)α(1+x)^\alpha== 1+(α1)x+(α2)x2+(α3)x3+⋯1 + \dbinom{\alpha}{1} x + \dbinom{\alpha}{2} x^2 + \dbinom{\alpha}{3} x^3 + \cdots ∣x∣<1|x| < 1 で成り立つ（α\alpha は任意の実数）

ただし、

  • (αk)\dbinom{\alpha}{k} は二項係数を実数 α\alpha に広げたもの（(αk)=α(α−1)⋯(α−k+1)k!\dbinom{\alpha}{k} = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}）
  • kk は (α1), (α2), (α3), …\dbinom{\alpha}{1},\ \dbinom{\alpha}{2},\ \dbinom{\alpha}{3},\ \dots の下の数（k=1, 2, 3, …k = 1,\ 2,\ 3,\ \dots）。exe^x の和の kk とは別のもの
二項展開の系
11−x\dfrac{1}{1-x}== 1+x+x2+x3+⋯1 + x + x^2 + x^3 + \cdots (1+x)α(1+x)^\alpha の展開で α=−1\alpha = -1 とし、xx を −x-x に置き換えた（∣x∣<1|x| < 1 で成り立つ）。
1+x\sqrt{1+x}== 1+(1/21)x+(1/22)x2+⋯1 + \dbinom{1/2}{1} x + \dbinom{1/2}{2} x^2 + \cdots (1+x)α(1+x)^\alpha の展開で α=12\alpha = \dfrac{1}{2} とした（∣x∣<1|x| < 1 で成り立つ）。